椭圆二焦点M、N在x轴上,以|MN|为直径的圆与椭圆的一个交点为(3,4),求椭圆的标准方程.
问题描述：
椭圆二焦点M、N在x轴上,以|MN|为直径的圆与椭圆的一个交点为(3,4),求椭圆的标准方程.
答
由题设,△MNP为直角三角形且P(3,4)为直角顶点.故 |OM|=|ON|=|OP|=5
可得两焦点M(-5,0)和N(5,0).
可设椭圆方程为 x^2/a^2+y^2/b^2=1 由定义,2a=|PM|+|PN|=4√5+2√5＝6√5
∴a^2=45,又c=5 ∴b^2=20.
故所求的椭圆方程为 x^2/45+b^2/20=1