已知抛物线y2=4x，焦点为F，顶点为O，点P在抛物线上移动，Q是OP的中点． （1）求点Q的轨迹方程； （2）若倾斜角为60°且过点F的直线交Q的轨迹于A，B两点，求弦长|AB|．
问题描述：
已知抛物线y2=4x，焦点为F，顶点为O，点P在抛物线上移动，Q是OP的中点．
（1）求点Q的轨迹方程；
（2）若倾斜角为60°且过点F的直线交Q的轨迹于A，B两点，求弦长|AB|．
答
（1）设Q（x，y），∵Q是OP中点，∴P（2x，2y）
又∵点P在抛物线y2=4x上
∴（2y）2=4×2x，即y2=2x为点Q的轨迹方程
（2）∵F（1，0），kAB＝
，∴直线AB的方程为：y＝
3
(x−1)
3
设点A（x1，y1），B（x2，y2）
直线AB的方程代入y2=2x，消去y得：3x2-8x+3=0
∴x1+x2＝
，x1x2＝18 3
∴|AB|＝
1+k2
＝
(x1+x2)2−4x1x2
4
7
3