已知等腰直角三角形ABC,角C为90度,斜边AB上取两点M,N（M靠近A,N靠近点B）.且角MCN为45度,求证：MN的平方

令C(0,0) B(1,0) A(0,1) ∠BON=p
直线AB:y=-x+1
直线NC:y=tanp*x
-x+1=tanp*x
x=1/(1+tanp)
y=tanp/(1+tanp)
所以N(1/(1+tanp),tanp/(1+tanp))
直线MC:y=tan(p+π/4)*x=(tanp+1)/(1-tanp)*x
-x+1=(tanp+1)/(1-tanp)*x
2/(1-tanp)*x=1
x=(1-tanp)/2
y=(1+tanp)/2
所以M((1-tanp)/2,(1+tanp)/2)
|AM|^2=(1-tanp)^2/2
|BN|^2=2[tanp/(1+tanp)]^2
|MN|^2=[(1-tanp)/2-1/(1+tanp)]^2+[(1+tanp)/2-tanp/(1+tanp)]^2
所以|MN|^2-|AM|^2-|BN|^2
=[1+(tanp)^2]^2/2(1+tanp)^2-(1-tanp)^2/2-2(tanp)^2/(1+tanp)^2
=[1+2(tanp)^2+(tanp)^4-1+2(tanp)^2-(tanp)^4-4(tanp)^2]/2(1+tanp)^2
=0
所以MN的平方=AM的平方+BN的平方