线性代数问题,实对称矩阵A正定,则A与单位矩阵E合同,这个怎么证明啊?
问题描述：
线性代数问题,实对称矩阵A正定,则A与单位矩阵E合同,这个怎么证明啊?
答
实对称矩阵可正交对角化
即存在正交矩阵Q满足 Q^-1AQ = diag(λ1,...,λn),Q^-1=Q^T
其中λi是A的特征值.
由A正定,故 λi>0,i=1,2,...,n.
令 C = diag(√λ1,...,√λn)
P = QC,则 P可逆,且 P^TAP = (QC)^TA(QC) = C^TQ^TAQC = diag(1,1,...,1)=E.
即 A 与 E 合同.