f(x)=x+1+(x+1)ln(x+1)/x
问题描述：
f(x)=x+1+(x+1)ln(x+1)/x
(1)设g（x）=x^2乘f'（x）,求g（x）的单调区间
（2）实数a属于（m,m+1）且g（a）=0,求正整数m的值
（3）若x＞0,f（x）＞n恒成立,求正整数n的最大值
答
1.定义域x>-1,且x≠0
f(x)=[x+1+(x+1)ln(x+1)]/x
求导易得f'(x)=[x-1-ln(x+1)]/x^2,又g(x)=f'(x)x^2得
g(x)=x-1-ln(x+1),(x>-1,x≠0).(*)
求导得g'(x)=1-1/(x+1)=x/(x+1),
由g'(x)0,且g(x)在x∈(2,3)内单调递增,
又g(2)=1-ln32-ln(e^2)=0,
于是根据连续函数介值定理得,必存在唯一点a∈(2,3)使得g(a)=0,此时m=2.
3.对于x＞0,f(x)＞n恒成立,即n0上恒成立
该问题等价于n0)
求导易得h'(x)=[x-1-ln(x+1)]/x^2=g(x)/x^2,下面判断h'(x)符号只需判断g(x)符号
结合第一问的讨论,易得
当00,h(x)单增
并有x=a为h'(x)=0的唯一驻点,且极小值h(x)=h(a),该极小值必为其最小值
于是min[h(x)]=h(a)=(a+1)[1+ln(a+1)]/a,【注意,当x=a,g(a)=a-1-ln(a+1)=0,得1+ln(a+1)=a】
代入则h(a)=[(a+1)a]/a=a+1>3,其中a∈(2,3)
显然由n