证明如果n姐是对称矩阵A满足A^3+3A=36E,则A=3E.结合矩阵特征值及相似对角化的特点.

设λ是A的特征值
则 a^3+3a-36 是 A^3+3A-36E 的特征值
因为A^3+3A-36E=0
所以 a^3+3a-36=0
即 (a-3)(a^2+3a+12)=0
因为A是实对称矩阵,其特征值都是实数
所以a=3.
所以3是A的n重特征值
再由A是实对称矩阵,A可对角化,即存在可逆矩阵P满足 P^-1AP=diag(3,3,...,3)=3E
所以 A = P(3E)P^-1 = 3E.