定积分 ∫ √ln²x dx
问题描述：
定积分 ∫ √ln²x dx
答
∫ √ln²x dx
= ∫ （-lnx） dx +∫ lnx dx
=- ∫ lnx dx +∫ lnx dx；分布积分法
=-【xinx｜－ ∫ xd（lnx）】 ＋【xinx｜－ ∫ xd（lnx）】
=－xinx｜＋ ∫ dx ＋xinx｜－ ∫ dx
=－[0－1/e×﹙－1﹚]＋x｜ ＋﹙e－0﹚－x｜
=－1/e＋﹙1－1/e﹚＋e－﹙e－1﹚
=－2/e＋1＋e－e＋1
=2－2/e
答
显然在1到e上,lnx大于0,
而在1/e到1上,lnx小于0,
故
∫ √ln²x dx
=∫ -lnx dx + ∫ lnx dx
而
∫ lnx dx
= x * lnx -x +C （C为常数）
所以
∫ √ln²x dx
=∫ -lnx dx + ∫ lnx dx
= (-x * lnx +x) + (x * lnx -x)
= 1 - 2/e + 1
= 2 - 2/e