设*是集合A上可结合的二元运算,且对于任意的a,b属于A,若a*b=b*a,则a=b.试证明

问题描述:

设*是集合A上可结合的二元运算,且对于任意的a,b属于A,若a*b=b*a,则a=b.试证明
对于任意的a属于A,a*a=a,即a是等幂元;
对于任意的a,b属于A,a*b*a=a;
对于任意的a,b,c属于A,a*b*c=a*c.

首先介绍一下等幂元:
若a是等幂元,则a^n = a.(n是非0自然数)
1)由于*是集合S上的可结合的二元运算,故有(a*a)*a=a*(a*a)
则有 a*a=a
2)由于(a*b)*(a*b)=a*b
所以a*b*a*b=a*b
所以a*b*a=a
同理可得问题(3)