等腰三角形ABC的腰AB上的中线CD的长为2,则△ABC周长的最大值_.

问题描述:

等腰三角形ABC的腰AB上的中线CD的长为2,则△ABC周长的最大值______.

设等腰三角形ABC的腰AB=AC长为2x,底为y,
∵腰AB上的中线CD的长为2,
由中线公式可得2x2+y2=8①
则周长C=4x+y②
由柯西不等式就可得
(2x2+y2)(8+1)≥(4x+y)2
所以4x+y≤6

2

当且仅当2x2=8y2,即x=
4
2
3
,y=
2
2
3

△ABC周长取最大值为6
2

故答案为:6
2