已知三角形ABC的顶点A,B在椭圆x＾2＋3y＾2=4上,C在直线l:y=x+2上且AB//l, （1）当AB边经过坐标原点O时,AB的长
问题描述：
已知三角形ABC的顶点A,B在椭圆x＾2＋3y＾2=4上,C在直线l:y=x+2上且AB//l, （1）当AB边经过坐标原点O时,AB的长
（2）当角ABC=90°时,求斜边AC长的最大值
答
（1）由题意可知,AB的斜率为1
当AB经过坐标原点时,AB的方程为y=x
由弦长公式可得
AB=√(1+k^2)[(x1+x2)^2-4x1x2] ①
又由x^2＋3y^2=4以及y=x联立可得
x^2-1=1
所以x1=√2,x2=-√2
带入①式解得
AB=4
（2）当ABC=90°时B在直线y=x+2上的映射就是C
设直线AB为y=x+m则有
x^2＋3y^2=4和y=x+m联立可得
4x^2+6mx+3m^2-4=0 ②
又根据斜率为1的直线与x轴夹角45°这条几何关系可知
BC^2=(2-m)^2/2
又由②式可得
x1+x2=-3m/2
x1x2=(3m^2-4)/4 ③
将③带入①记得
AB^2=2(9m^2/4-3m^2+4)=2(4-3m^2/4)
所以AC^2=AB^2+BC^2=-m^2-2m+10
在②式的△>0的前提下,-m^2-2m+10取最大值时,AC最长
此时-4√3/3＜m＜4√3/3
又函数f(m)=-m^2-2m+10的对称轴为m=-1属于-4√3/3＜m＜4√3/3
所以当m=-1时AC取最大值
最大值
ACmax=(-40-4)/(-4)=11
不懂再问,