如图,△ABC内接于⊙O,AB=6,AC=4,D是AB边上一点,P是优弧BAC的中点,连接PA、PB、PC、PD. (1)当BD的长度为多少时,△PAD是以AD为底边的等腰三角形?并证明;(2)在(1)的条件下,若cos

问题描述:

如图,△ABC内接于⊙O,AB=6,AC=4,D是AB边上一点,P是优弧BAC的中点,连接PA、PB、PC、PD.

(1)当BD的长度为多少时,△PAD是以AD为底边的等腰三角形?并证明;
(2)在(1)的条件下,若cos∠PCB=

5
5
,求PA的长.

(1)当BD=AC=4时,△PAD是以AD为底边的等腰三角形.
∵P是优弧BAC的中点,

PB
=
PC

∴PB=PC.
又∵∠PBD=∠PCA(圆周角定理),
∴当BD=AC=4,△PBD≌△PCA.
∴PA=PD,即△PAD是以AD为底边的等腰三角形.
(2)过点P作PE⊥AD于E,

由(1)可知,
当BD=4时,PD=PA,AD=AB-BD=6-4=2,
则AE=
1
2
AD=1.
∵∠PCB=∠PAD(在同圆或等圆中,同弧所对的圆周角相等),
∴cos∠PAD=cos∠PCB=
AE
PA
=
5
5

∴PA=
5