某公司装修需用A型板材240块、B型板材180块,A型板材规格是60cm×30cm,B型板材规格是40cm×30cm.现只能购得规格是150cm×30cm的标准板材.一张标准板材尽可能多地裁出A型、B型板材,共有下列三种裁法:(如图是裁法一的裁剪示意图)   裁法一 裁法二 裁法三A型板材块数 1 2 0B型板材块数 2 m n设所购的标准板材全部裁完,其中按裁法一裁x张、按裁法二裁y张、按裁法三裁z张,且所裁出的A、B两种型号的板材刚好够用.(1)上表中,m=______,n=______;(2)分别求出y与x和z与x的函数关系式;(3)若用Q表示所购标准板材的张数,求Q与x的函数关系式,并指出当x取何值时Q最小,此时按三种裁法各裁标准板材多少张?

问题描述:

某公司装修需用A型板材240块、B型板材180块,A型板材规格是60cm×30cm,B型板材规格是40cm×30cm.现只能购得规格是150cm×30cm的标准板材.一张标准板材尽可能多地裁出A型、B型板材,共有下列三种裁法:(如图是裁法一的裁剪示意图)

  裁法一 裁法二 裁法三
A型板材块数 1 2 0
B型板材块数 2 m n
设所购的标准板材全部裁完,其中按裁法一裁x张、按裁法二裁y张、按裁法三裁z张,且所裁出的A、B两种型号的板材刚好够用.

(1)上表中,m=______,n=______;
(2)分别求出y与x和z与x的函数关系式;
(3)若用Q表示所购标准板材的张数,求Q与x的函数关系式,并指出当x取何值时Q最小,此时按三种裁法各裁标准板材多少张?

(1)按裁法二裁剪时,2块A型板材块的长为120cm,150-120=30,所以无法裁出B型板,
按裁法三裁剪时,3块B型板材块的长为120cm,120<150,
而4块块B型板材块的长为160cm>150cm,所以无法裁出4块B型板;
∴m=0,n=3;
(2)由题意得:共需用A型板材240块、B型板材180块,
又∵满足x+2y=240,2x+3z=180,
∴整理即可求出解析式为:y=120-

1
2
x,z=60-
2
3
x;
(3)由题意,得Q=x+y+z=x+120-
1
2
x+60-
2
3
x.
整理,得Q=180-
1
6
x.
由题意,得
120−
1
2
x≥0
60−
2
3
x≥0

解得x≤90.
[注:事实上,0≤x≤90且x是6的整数倍]
由一次函数的性质可知,当x=90时,Q最小.
由(2)知,y=120-
1
2
x=120-
1
2
×90=75,z=60-
2
3
x=60-
2
3
×90=0;
故此时按三种裁法分别裁90张、75张、0张.
答案解析:(1)按裁法二裁剪时,2块A型板材块的长为120cm,150-120=30,所以无法裁出B型板,按裁法三裁剪时,3块B型板材块的长为120cm,120<150,而4块块B型板材块的长为160cm>150所以无法裁出4块B型板;
(2)由题意得:共需用A型板材240块、B型板材180块,又因为满足x+2y=240,2x+3z=180,然后整理即可求出解析式;
(3)由题意,得Q=x+y+z=x+120-
1
2
x+60-
2
3
x和
120-
1
2
x≥0
60-
2
3
x≥0
,[注:事实上,0≤x≤90且x是6的整数倍].由一次函数的性质可知,当x=90时,Q最小.此时按三种裁法分别裁90张、75张、0张.
考试点:一次函数的应用.

知识点:本题重点考查了一次函数图象和实际应用相结合的问题,在做题时要明缺所裁出A型板材和B型板材的总长度不能超过150cm.