如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，△ADC和△ABE是等边三角形，DE交AB于点F，求证：F是DE的中点．
问题描述：
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，△ADC和△ABE是等边三角形，DE交AB于点F，求证：F是DE的中点．
答
如图所示，过点E作EG⊥AB，
∵△ABE是等边三角形，EG⊥AB，
∴AG=BG=
AB，1 2 由勾股定理得：EG=
AG，
3
∵∠BAC=30°，
∴BC=
AB，1 2
∴AG=BC=
AB，1 2
∵由勾股定理得：AC=
BC，
3
∴EG=AC，
∵∠DAB=60°+30°=90°，
∴DA⊥AB．
∴DA∥EG．
∴∠ADE=∠FEG，∠DAF=∠FGE=90°，
在△ADF与△GEF中，
∵
，
∠ADE＝∠FEG ∠DAF＝∠FGE＝90° EG＝AD
∴△ADF≌△GEF（AAS），
∴DF=EF．
即F为DE的中点．