倾斜角为a的直线经过抛物线y^=8x的焦点F,且与抛物线交于A.B两点.若a为锐角,作线段AB的垂直平分线m交x轴
问题描述：
倾斜角为a的直线经过抛物线y^=8x的焦点F,且与抛物线交于A.B两点.若a为锐角,作线段AB的垂直平分线m交x轴
点p,证明[FP]-[FP]cos2a为定直,并求此定值!
答
因为a为锐角,所以斜率必存在
设直线AB：y=k(x-2)
与y^2=8x联解得：
(k^2)*(x^2)-(8+4k^2)x+4k^2=0
则,x1+x2=(8+4k^2)/k^2 ,y1+y2=k(x1+x2-4)=8/k
所以 AB中点(4/k^2+2,4/k)
那么,直线m:y=-(1/k)(x-4/k^2-2)+4/k
令y=0,则x=6+4/k^2
所以|PF|=4(1+1/k^2)=4/(sina)^2
又,|PF|-|PF|cos2a=|FP|(1-cos2a)=2(sina)^2*4/(sina)^2=8 [定值]