已知如图,△ABC是等腰直角三角形,AB=AC,E,F是斜边BC上的两点,且∠EAF=45°.那么以BE,EF,FC三条线段为边的正方形面积间有何关系?证明你的结论.

问题描述:

已知如图,△ABC是等腰直角三角形,AB=AC,E,F是斜边BC上的两点,且∠EAF=45°.那么以BE,EF,FC三条线段为边的正方形面积间有何关系?证明你的结论.

BE2+FC2=EF2.理由如下:
∵△ABC是等腰直角三角形,AB=AC,
∴∠2=∠C=45°,
把△ACF绕点A顺时针旋转90°得到△ABD,如图,则∠1=∠C=45°,BD=CF,AF=AD,∠BAD=∠CAF,∠DAF=90°,
∵∠EAF=45°,
∴∠CAF+∠BAE=45°,
∴∠BAE+∠BAD=45°,即∠EAD=45°,
∴∠EAD=∠EAF,
在△AEF和△AED中

AE=AE
∠EAF=∠EAD
AF=AD

∴△AEF≌△AED,
∴EF=DE,
∵∠DBE=∠1+∠2=90°,
∴BE2+BD2=DE2
∴BE2+FC2=EF2