如图，Rt△BDE中，∠BDE=90°，BC平分∠DBE交DE于点C，AC⊥CB交BE于点A，△ABC的外接圆的半径为r．（1）若∠E=30°，求证：BC•BD=r•ED；（2）若BD=3，DE=4，求AE的长．
问题描述：
如图，Rt△BDE中，∠BDE=90°，BC平分∠DBE交DE于点C，AC⊥CB交BE于点A，△ABC的外接圆的半径为r．
（1）若∠E=30°，求证：BC•BD=r•ED；
（2）若BD=3，DE=4，求AE的长．
答
（1）证明：取AB中点O，△ABC是Rt△，AB是斜边，O是外接圆心，连接CO，
∴BO=CO，∠BCO=∠OBC，
∵BC是∠DBE平分线，
∴∠DBC=∠CBA，
∴∠OCB=∠DBC，
∴OC∥DB，（内错角相等，两直线平行），
∴
=OC BD
，把比例式化为乘积式得BD•CE=DE•OC，CE DE
∵OC=r，
∴BD•CE=DE•r．
∵∠D=90°，∠E=30°，
∴∠DBE=60°，
∴∠CBE=
∠DBE=30°，1 2
∴∠CBE=∠E，
∴CE=BC，
∴BC•BD=r•ED．
（2） BD=3，DE=4，根据勾股定理，BE=5，
设圆的半径长是r，则OC=OA=r，
∵OC∥DB，
∴△OCE∽△BDE，
∴
=OC BD
=OE BE
，即CE DE
=r 3
=OE 5
CE 4
解得：OE=
r，CE=5 3
r．4 3
CH=
=OC•CE OE
r，4 5
∵BC平分∠DBE交DE于点C，则△BDC≌△BHC，
∴BH=BD=3，
则HE=2．
∴CD=CH=
r．4 5
在直角△CHE中，根据勾股定理得：CH2+EH2=CE2，
即（
r）2+22=（4 5
r）2，解得：r=4 3
，15 8
则AE=BE-2r=5-
=15 4
．5 4