已知:如图,锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O,且OB=OC. (1)求证:△ABC是等腰三角形;(2)判断点O是否在∠BAC的角平分线上,并说明理由.

问题描述:

已知:如图,锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O,且OB=OC.

(1)求证:△ABC是等腰三角形;
(2)判断点O是否在∠BAC的角平分线上,并说明理由.

(1)证明:∵OB=OC,
∴∠OBC=∠OCB,
∵锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O,
∴∠BEC=∠CDB=90°,
∵∠BEC+∠BCE+∠ABC=∠CDB+∠DBC+∠ACB=180°,
∴180°-∠BEC-∠BCE=180°-∠CDB-∠CBD,
∴∠ABC=∠ACB,
∴AB=AC,
∴△ABC是等腰三角形;

(2) 点O在∠BAC的角平分线上.
理由:连接AO并延长交BC于F,
在△AOB和△AOC中,

AB=AC
OB=OC
OA=OA

∴△AOB≌△AOC(SSS).
∴∠BAF=∠CAF,
∴点O在∠BAC的角平分线上.