某渔业公司今年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞．第一年需各种费用12万元，从第二年开始每年包括维修费在内，所需费用均比上一年增加4万元，该船捕捞总收入预计每年50万元．（1）该船捕捞几年开始盈利（即累计总收入减去成本及所有费用之差为正）？（2）该船捕捞若干年后，处理方案有两种：①年平均盈利达到最大值时，以26万元的价格将船卖出；②累计盈利总额达到最大时，以8万元的价格将船卖出．问哪一种方案较为合算？并说明理由．

答

1）设n年后盈利额为y元，则y＝50n−[12n+

n(n−1)

2

×4]−98＝−2n2+40n−98
令y＞0，得3≤n≤17，∴从第3年开始盈利．
2）①平均盈利

y

n

＝−2n−

98

n

+40≤−2

2n× 98 n

+40＝12
这种情况下，盈利总额为12×7+26=110万元，此时n=7．
②y=-2（n-10）²+102≤102，此时n=10．
这种情况下盈利额为102+8=110．
两种情况的盈利额都为110万元，盈利额一样，但方案①的时间短，故方案①合算．
答案解析：（1）根据题意先设n年后盈利额为y元，利用数列的求和公式即可求得y的表达式，最后令y＞0，解得n的取值范围从而解决问题．
（2）①先求出平均盈利的函数表达式，再利用基本不等式求其最大值，从而得出盈利总额；
②先求出平均盈利的函数表达式，再利用二次函数的图象与性质求其最大值，从而得出盈利总额；最后比较两种情况的盈利额的情况即可解决问题．
考试点：函数模型的选择与应用．
知识点：本小题主要考查函数模型的选择与应用、数列求和、基本不等式及函数的最值，属于基础题．