证明以椭圆X2/a2+Y2=1(a>1)的短轴的一个端点为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形有多少个?
问题描述：
证明以椭圆X2/a2+Y2=1(a>1)的短轴的一个端点为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形有多少个?
有个解题方法是设其它两个端点的坐标是 P(X1,y1) Q(X2,Y2) 之后就给出了① 1-y1=x2
② -x1=1-y2 请问这个关系是怎么导出来的 是一个规律么
答
a＞1,所以短轴的一个端点坐标为：B（0,1）
设P（x1,y1）,Q(x2,y2)
设过BP的直线斜率为k；BP⊥BQ则过BQ的直线斜率为-1/k；
直线方程BP:y-1=kx; BQ：y-1=-x/k,-x=k（y-1）
分别将（x1,y1）,（x2,y2）代入有：
y1-1=kx1,-x2=k（y2-1）.1
由于BP=BQ,两点距离公式有：
x1²+（y1-1）²=x2²+（y2-1）².2
1式代入2式有：x1²+k²x1²=k²（y2-1）² +（y2-1）²
∵1+k²≠0； ∴x1²=（y2-1）².3
又1式：k²x1²=（y1-1）²,x2²=k²（y2-1）²代入3式有：
（y1-1）²=x2².4
这样3,4式是:
x1²=（y2-1）²;
（y1-1）²=x2²;
然后因为内接椭圆,∴P,Q必须在y轴的两边就是如果x1＞0,那么x2＜0,或者x1＜0,x2＞0结果就有了：
x1=1-y2,同时x2=y2-1
或x1=y2-1,同时x2=1-y1；
因为x1,x2是随便设的,所以上面的关系式写一个即可.
这么写不知道能不能看懂,不过本题直接设后给出这么个解答过于简略,这本辅导教材你不看也罢,太误导人了.