观察下列等式: 1×2=1/3×(1×2×3-0×1×2) 2×3=1/3×(2×3×4-1×2×3) 3×4=1/3×(3×4×5-2×3×4) … 计算:3×[1×2+2×3+3×4+…+n(n+1)]=_.

问题描述:

观察下列等式:
1×2=

1
3
×(1×2×3-0×1×2)
2×3=
1
3
×(2×3×4-1×2×3)
3×4=
1
3
×(3×4×5-2×3×4)

计算:3×[1×2+2×3+3×4+…+n(n+1)]=______.

∵1×2=

1
3
×(1×2×3-0×1×2)
2×3=
1
3
×(2×3×4-1×2×3),
3×4=
1
3
×(3×4×5-2×3×4),
…,
∴n(n+1)=
1
3
[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)],
∴3×[1×2+2×3+3×4+…+n(n+1)]
=3×
1
3
[1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+3×4×5-2×3×4+…+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]
=n(n+1)(n+2).
故答案为:n(n+1)(n+2).