设正数a、b、c、x、y、z 满足ax+by=c,bz+cx=a,cy+az=b,则以a、b、c为边的三角形一定是什么三角形?答案是锐角三角形,为什么呢?

ax+by=c ==>acx+bcy=c^2 .(1)
bz+cx=a ==>abz+acx=a^2 .(2)
cy+az=b ==>bcy+abz=b^2 .(3)
(1)-(2)+(3)
2bcy=b^2+c^2-a^2 ==>y=(b^2+c^2-a^2)/2bc
(1)+(2)-(3)
2acx=a^2+c^2-b^2 ==>x=(a^2+c^2-b^2)/2ac
(2)+(3)-(1)
2abz=a^2+b^2-c^2 ==>z=(a^2+b^2-c^2)/2ab
因为a、b、c、x、y、z为正数,a、b、c为三角形ABC的边,
所以cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc=y>0
cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac=x>0
cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab=z>0
所以A,B,C为锐角,三角形ABC为锐角三角形.