设椭圆x^2/16+y^2/b^2=1(4>b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,点P(4,b)满足|PF2|=|F1F2|.(1)求椭圆的方程.
问题描述:
设椭圆x^2/16+y^2/b^2=1(4>b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,点P(4,b)满足|PF2|=|F1F2|.(1)求椭圆的方程.
(2)若直线PF2与圆(x+1)^2+(y^根号3)^2=16相交于M,N两点求|MN|
答
(1)|F1F2|=2c,|PF2|=√[(4-c)²+b²]=√[(4-c)²+a²-c²];
按题意 2c=√[(4-c)²+a²-c²],4c²=4²-8c+a²;
将 a=4 代入解得 c=2;b²=16-2²=12;故椭圆标准方程为 x²/16+y²/12=1;
(2)坐标F2(2,0)、P(4,2√3);PF2所在直线方程:y=√3*(x-2);
圆 (x+1)²+(y-√3)²=16 的半径 R=4,圆心坐标(-1,√3);
圆心到直线PF2的距离(弦心距)d=|y-√3(x-2)|/2=|√3-√3(-1-2)|/2=2√3;
∴ |MN|=2√(R²-d²)=2√[4²-(2√3²)]=4;