已知数列{an}的前n项和为Sn,且(a-1)Sn=a(an-1)(a>0)(n∈N*).(Ⅰ)求证数列{an}是等比数列,并求an;(Ⅱ)已知集合A={x|x2+a≤(a+1)x},问是否存在实数a,使得对于任意的n∈N*都有Sn∈A?若存在,求出a的取值范围;若不存在,说明理由.

问题描述:

已知数列{an}的前n项和为Sn,且(a-1)Sn=a(an-1)(a>0)(n∈N*).
(Ⅰ)求证数列{an}是等比数列,并求an
(Ⅱ)已知集合A={x|x2+a≤(a+1)x},问是否存在实数a,使得对于任意的n∈N*都有Sn∈A?若存在,求出a的取值范围;若不存在,说明理由.

(Ⅰ)当n=1时,∵(a-1)S1=a(a1-1),∴a1=a(a>0)(1分)
n≥2时,由(a-1)Sn=a(an-1)(a>0)
得(a-1)Sn-1=a(an-1-1)
∴(a-1)an=a(an-an-1),变形得:

an
an−1
=a(n≥2)(4分)
故{an}是以a1=a为首项,公比为a的等比数列,∴an=an(6分)
(Ⅱ)(1)当a=1时,A={1},Sn=n,只有n=1时Sn∈A,
∴a=1不适合题意(7分)
(2)a>1时,A={x|1≤x≤a},S2=a+a2>a,∴S2∉A,
即当a>1时,不存在满足条件的实数a(9分)
(3)当0<a<1时,A={x|a≤x≤1}
而Sn=a+a2+…an=
a
1−a
(1−an)∈[a,
a
1−a
)

因此对任意的n∈N*,要使Sn∈A,
只需0<a<1,
a
1−a
≤1
解得0<a≤
1
2
(11分)
综上得实数a的范围是(0,
1
2
].(12分)
答案解析:(Ⅰ)先由条件构造等式(a-1)Sn-1=a(an-1-1)与已知条件作差求出数列{an}的递推公式,再对数列{an}的递推公式变形即可证数列{an}是等比数列,再代入等比数列的通项公式即可求出an
(Ⅱ)先对a分情况讨论分别求出对应的集合A和Sn,再分别看是否满足对于任意的n∈N*都有Sn∈A.进而求出a的取值范围.
考试点:数列与函数的综合;数列递推式.
知识点:本题第二问涉及到一元二次不等式的解法.在解一元二次不等式时,由于不等式的解集有对应方程的根决定,所以要先求对应方程的根,在根据根的大小以及开口方向写出解集,当不确定两个根的大小时,一定要分情况讨论.