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已知曲线C1：y2=2x与C2：y=1/2x2在第一象限内交点为P．（1）求过点P且与曲线C2相切的直线方程；（2）求两条曲线所围图形（如图所示阴影部分）的面积S．

分类: 作业答案 • 2021-12-24 16:01:20

问题描述：

已知曲线C₁：y²=2x与C₂：y=

1

2

x2在第一象限内交点为P．

（1）求过点P且与曲线C₂相切的直线方程；
（2）求两条曲线所围图形（如图所示阴影部分）的面积S．

答

（1）曲线C₁：y²=2x与C₂：y=

1

2

x2在第一象限内交点为P（2，2）
C₂：y=

1

2

x2的导数y'=xy'|_x=2=2
而切点的坐标为（2，2）
∴曲线C₂：y=

1

2

x2在x=2的处的切线方程为y-2=2（x-2），即2x-y-2=0．
（2）由曲线C₁：y²=2x与C₂：y=

1

2

x2可得两曲线的交点坐标为（0，0），（2，2）
∴两条曲线所围图形（如图所示阴影部分）的面积：
S=

∫

20

（

2x

-

1

2

x2）dx=（

2

×

2

3

x

3

2

-

1

6

x3）

|

20

=

4

3

．