设函数f(x)=x3+ax2-12x的导函数为f′(x),若f′(x)的图象关于y轴对称.(I)求函数f(x)的解析式;(Ⅱ)求函数f(x)的极值.

问题描述:

设函数f(x)=x3+ax2-12x的导函数为f′(x),若f′(x)的图象关于y轴对称.
(I)求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)求函数f(x)的极值.

(I)f′(x)=3x2+2ax-12,∵f′(x)的图象关于y轴对称,∴a=0.
∴f(x)=x3-12x.
(II)由(I)可得f′(x)=3x2-12=3(x+2)(x-2).
令f′(x)=0,解得x=±2.列表如下:

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 x (-∞,-2)-2 (-2,2) 2 (2,+∞)
 f′(x)+ 0- 0+
 f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
由表格可知:当x=-2时,函数f(x)取得极大值,且f(-2)=16;当x=2时,函数f(x)取得极小值,
且f(2)=-16.
答案解析:(I)f′(x)=3x2+2ax-12,由于f′(x)的图象关于y轴对称,即可得出a=0.进而得到f(x).
(II)令f′(x)=0,解得x=±2.列表即可得出极值.
考试点:利用导数研究函数的极值;函数解析式的求解及常用方法.
知识点:熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值、二次函数的对称性等是解题的关键.