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是否存在常数A,B使等式:1(N^2-1^2)+2(N^2-2^2)+3(N^2-3^2)+……+N(N^2-N^2)=[N^2(N+A)(N+B)]/4对一切N属于N*都成立,求证明.

分类: 作业答案 • 2021-12-24 15:34:11
问题描述：

是否存在常数A,B使等式:1(N^2-1^2)+2(N^2-2^2)+3(N^2-3^2)+……+N(N^2-N^2)=[N^2(N+A)(N+B)]/4对一切N属于N*都成立,求证明.

答

等式展开得
1n^2+2n^2+...nn^2-(1^3+2^3+3^3+...+n^3)=n^2*n(n+1)/2-n^2(n+1)/4=n^2(n^2-1)/4=n^2(n+a)(n+b)/4
所以有n^2-1=n^2+(a+b)n+ab 等式两边比较系数 有 a+b=0,ab=-1 解得a=1,b=-1 或
a=-1,b=1
公式：1^3+2^3+3^3+...+n^3=n^2(n+1)/4

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