函数f(x)在0到无穷上可导,f(0)=1,且满足等式f'(x)+f(x)-1/(x+1)[0,x]∫f(t)dt=0 (1)求f'(x)
问题描述：
函数f(x)在0到无穷上可导,f(0)=1,且满足等式f'(x)+f(x)-1/(x+1)[0,x]∫f(t)dt=0 (1)求f'(x)
(2)证明当x>=0时,不等式e^-x
答
请问您的等式到底是什么?怎么等式里面还有区间?[0,x]∫f(t)dt的意思是积分的上下限是0到x首先移项,{f'(x)+f(x)}*(x+1)=∫f(t)dt然后两侧求导｛f'‘(x)+f’(x)｝*(x+1)+f'(x)+f(x)=f(x)化简上式f''(x)/f'(x)=-(x+2)/(x+1)解上述微分方程令f'(x)=p则有dp/p=-(x+2)/(x+1)*dx 化简继续dp/p=｛-1-1/(x+1)｝*dx两侧取积分Lnp=-x-Ln(x+1)-Lnc即：Lnp=Lne^(-x)-Ln(x+1)-Lnc则有p=e^(-x)/（c*(x+1))即f'(x)=1/（c*e^x*(x+1)）将x=0带入已知等式得到f'(0)=-1得到c=-1即f'(x)=-1/（e^x*(x+1)）（2）显然f'(x)恒小于0即f(x)为减函数f(x)max=f(0)=1即有f(x)=-e^(-x)(放缩)∴∫f'(x)dx=∫-e^(-x)*1/(x+1)dx>=∫-e^(-x)dx即f(x)>=∫-e^(-x)dx即f(x)>=e^(-x)到此证毕！望采纳