（理）如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是（　　） A.90° B.60° C.45° D.30°

分类: 作业答案 • 2021-12-23 20:00:17

问题描述：

（理）如图，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各条棱长都相等，M是侧棱CC₁的中点，则异面直线AB₁和BM所成的角的大小是（　　）
A. 90°
B. 60°
C. 45°
D. 30°

答

设三棱柱ABC-A₁B₁C₁的棱长等于2，延长MC₁到N使MN=BB₁，连接AN，则
∵MN∥BB₁，MN=BB₁，∴四边形BB₁NM是平行四边形，可得B₁N∥BM
因此，∠AB₁N（或其补角）就是异面直线AB₁和BM所成角
∵Rt△B₁C₁N中，B₁C₁=2，C₁N=1，∴B₁N=

∵Rt△ACN中，AC=2，CN=3，∴AN=

又∵正方形AA₁B₁B中，AB₁=2

∴△AB₁N中，cos∠AB₁N=

5+8−13

2×

×2

=0，可得∠AB₁N=90°
即异面直线AB₁和BM所成角为90°
故选：A