已知曲线C1的参数方程是x=2cosϕy=3sinϕ(φ为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是ρ=2.正三角形ABC的顶点都在C2上,且A、B、C以逆时针次序排列,点A的极坐标为(2,π3)(Ⅰ)求点A、B、C 的直角坐标;(Ⅱ)设P为C1上任意一点,求|PA|2+|PB|2+|PC|2的取值范围.

问题描述:

已知曲线C1的参数方程是

x=2cosϕ
y=3sinϕ
(φ为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是ρ=2.正三角形ABC的顶点都在C2上,且A、B、C以逆时针次序排列,点A的极坐标为(2,
π
3

(Ⅰ)求点A、B、C 的直角坐标;
(Ⅱ)设P为C1上任意一点,求|PA|2+|PB|2+|PC|2的取值范围.

(Ⅰ)由已知可得:A(2cos

π
3
,2sin
π
3
)、B( 2cos(
π
3
+
3
),2sin(
π
3
+
3
) )、C( 2cos(
π
3
+
3
 ),2sin(
π
3
+
3
)).
即:A(1,
3
)、B(-2,0)、C(1,-
3
).
(2)设点P(2cos∅,3sin∅),令S=|PA|2+|PB|2+|PC|2,则 S=12cos2∅+27sin2∅+12=15sin2∅+24,
因为0≤sin2∅≤1,所以S的取值范围是:[24,39].
答案解析:(Ⅰ)根据点A、B、C都在以原点为圆心、以2为半径的圆上,x轴的正半轴到0A、OB、OC的角分别为
π
3
π
3
+
3
π
3
+
3
,从而求得他们的直角坐标.
(2)设点P(2cos∅,3sin∅),令S=|PA|2+|PB|2+|PC|2,则 S=12cos2∅+27sin2∅+12=15sin2∅+24,再由正弦函数的有界性,求得|PA|2+|PB|2+|PC|2的取值范围.
考试点:椭圆的参数方程;简单曲线的极坐标方程.
知识点:本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法,把极坐标方程化为直角坐标方程的方法,正弦函数的有界性,属于中档题.