设函数f(x)在负无穷到正无穷内连续,且F(x)=∫(0到x)(x-2t)f(t)dt,

问题描述:

设函数f(x)在负无穷到正无穷内连续,且F(x)=∫(0到x)(x-2t)f(t)dt,
试证f(x)为偶函数,则F(x)也为偶函数.符号不太会打,

若f(-x)=f(x)
则 F(-x)=∫(0到-x)(-x-2t)f(t)dt=∫(0到x)(-x+2t)f(-t)d(-t) (设-t=t)
=∫(0到x)-(-x+2t)f(t)dt)=∫(0到x)(x-2t)f(t)dt=F(x)
所以 F(x)也为偶函数