近世代数证明题,讲明白有加分.
问题描述：
近世代数证明题,讲明白有加分.
证明：设H,K是有限群G的子群,则|HK||H∩K|=|H||K|.
其中HK={hk:h∈H,k∈K}.(不一定为子群,且H,K不一定为G的不变子群）
答
考察Descartes乘积集合H×K,在上面定义等价关系
(a,b)～(c,d) 存在x∈H∩K使得c=ax且b=xd
那么从H×K在等价关系～下的商集H×K/～到HK的映射[(a,b)]->ab是双射,所以
|H||K|/|H∩K|=|H×K|/|H∩K|=|HK|从H×K在等价关系～下的商集H×K/～到HK的映射[(a,b)]->ab是双射。这个可以解释一下吗？满射是显然的，只要验证单射，没什么难度，自己当证明题去做。希望不吝赐教。给出完整证明把那个映射记为f，f显然是满射，只验证单射如果f([a,b])=f([c,d])，那么ab=cd，这样c^{-1}a=db^{-1}，c^{-1}a属于H，db^{-1}属于K，所以都属于H∩K，这样就得到(a,b)～(c,d)，即[a,b]=[c,d]