若函数f(x)=[(k+x)(2~x)]/x的图像关于原点对称,则实数k=?
问题描述：
若函数f(x)=[(k+x)(2~x)]/x的图像关于原点对称,则实数k=?
答
f(x)=[(k+x)(2-x)]/x
f(-x)=[(k-x)(2+x)]/(-x)
因为图像关于原点对称,所以是奇函数,必有-f(x)=f(-x)恒成立!
∴-[(k+x)(2-x)]/x=[(k-x)(2+x)]/(-x)
等价于2k+(2-k)x-x^2=2k+(k-2)x-x^2
等价于2(k-2)x=0
注意上面这个式子啊,因为对于所有的x,等式均成立,所以只能k=2,推出恒等式0=0,否则,如果k≠2,只有x=0才能满足题意,这是显然不可能的（因为x是分母,且等式成立只有一个点）.
所以k=2.