定义在R上的单调函数f(x)满足f(-3)=log2(3)且对任意xy属于R都有f(x+y)=f(x)+f(y)

问题描述:

定义在R上的单调函数f(x)满足f(-3)=log2(3)且对任意xy属于R都有f(x+y)=f(x)+f(y)
(1)判断函数f(x)的奇偶性并证明
(2) 若对于任意t∈(0,2),不等式f(2t-3t²)+f(t²-k)<0 恒成立 求实数k的取值范围

(1)f(x)是奇函数
f(0+0)=f(0)+f(0)
得f(0)=0.
令y=-x,
得f(0)=f(x)+f(-x)
f(-x)=-f(x)
∴f(x)为奇函数.
(2)
∵f(x)是单调函数
-30=f(0)
∴f(-3)>f(0)
∴f(x)是减函数
f(2t-3t²)+f(t²-k)<0
f(2t-3t²)<-f(t²-k)
f(x)为奇函数
∴f(2t-3t²)<f(-t²+k)
∴2t-3t²>-t²+k
-2t²+2t>k
设g(t)=-2t²+2t,t∈(0,2)
对称轴t=1/2
t=2离t=1/2最远
∴g(t)最小值=g(2)=-8+4=-4
∵t∈(0,2),取不到2
∴g(t)>-4
∴k≤-4
实数k的取值范围 :k≤-4