设m,n为正整数,证明y=1/2[m^4+n^4+(m+n)^4]是完全平方数

问题描述:

设m,n为正整数,证明y=1/2[m^4+n^4+(m+n)^4]是完全平方数

y=(1/2)[m^4+n^4+(m+n)^4]
=(1/2)[(m^4+2(mn)^2+n^2)-2(mn)^2+(m^2+n^2+2mn)^2]
=(1/2)(m^2+n^2)^2-(mn)^2+(1/2)(m^2+n^2)+2(mn)^2+2mn(m^2+n^2)
=(m^2+n^2)^2+2mn(m^2+n^2)+(mn)^2
=[(m^2+n^2)+mn]^2.
∵m、n都是整数,∴y是完全平方数.