已知m、n均为正整数,且mn│m²+n²+m.证明m是一个完全平方数.

mn│(m^2+n^2+m),即m|n^2
n|(m^2+m)--> n|m(m+1),因为m,m+1互质,所以需有：m=kn 或m+1=kn
当m+1=kn时,m=kn-1,因为kn-1,n 互质,所以不可能m|n^2,所以m+1不能为kn.
当m=kn时,由m|n^2得：k|n,即n=kr,因此m=k^2r
mn=k^3r^2
m^2+n^2+m=k^2r(k^2r+r+1)
所以由mn|(m^2+n^2+1),得：kr|(k^2r+r+1),因此r|1,所以r=1.
故有：m=k^2为完全平方数.这个看过了，能把过程写的整齐些吗？比如：^2写成²吗？mn│(m²+n²+m), 即m|n²n|(m²+m)--> n|m(m+1), 因为m, m+1互质，所以m=kn 或m+1=kn（k为正整数）1、当m+1=kn时，m=kn-1, 因为kn-1, n 互质，所以不可能m|n², 所以m+1不能为kn.2、当m=kn时，由m|n²得：k|n, 设n=kr, （r为正整数）因此m=k²r所以mn=k^3r²所以m²+n²+m=k²r(k²r+r+1)所以由mn|(m²+n²+1)，得：kr|(k²r+r+1)， 因此r|1, 所以r=1.故有：m=k²为完全平方数。你这是什么啊？第一步就没动，能不能把每部写的详细些啊？或者把每部为什么都写出来啊！拜托了因为mn│(m²+n²+m)又因为m|mn所以m|m²+n²+m), 又因为m│(m²+m), 所以即m|n²mn│(m²+n²+m), 又因为n|mn所以n|（m²+n²+m), 又因为m│n²所以n|m(m+1),又因为m, m+1互质，所以n必整除其中一个所以设m=kn 或m+1=kn（k为正整数）分类讨论：1、当m+1=kn时，m=kn-1, 因为(kn-1, n)=1,即 kn-1不能整除n²又因为题目推出kn-1|n², 矛盾所以m+1不能为kn.所以m=kn又因为m|n²得：kn|n²同时约去n，得k|n, 所以设n=kr, （r为正整数）因此m=kn=k²r所以mn=k^3*r²所以m²+n²+m=k²r(k²r+r+1)所以由mn|(m²+n²+1)，得：k^3*r²|k²r(k²r+r+1)，约去k²r，得kr|(k²r+r+1)又因为r|kr所以r|(k²r+r+1)又因为r|(k²r+r）因此r|1, 所以r=1.故有：m=kn=k²r，即m=k²为完全平方数。