已知如图1,线段AB、CD相交于点O,连接AD、CB,我们把形如图1的图形称之为“8字形”.如图2,在图1的条件下,∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P,并且与CD、AB分别相交于M、N.(1) 在图1中,请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系:;(2)仔细观察,在图2中“8字形”的个数:_____个;(3)在图2中,若∠D=40°,∠B=36°,试求∠P的度数;(4)如果图2中∠D和∠B为任意角时,其他条件不变,试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系?说明理由

问题描述:

已知如图1,线段AB、CD相交于点O,连接AD、CB,我们把形如图1的图形称之为“8字形”.如图2,在图1的条件下,∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P,并且与CD、AB分别相交于M、N.
(1) 在图1中,请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系:;
(2)仔细观察,在图2中“8字形”的个数:_____个;
(3)在图2中,若∠D=40°,∠B=36°,试求∠P的度数;
(4)如果图2中∠D和∠B为任意角时,其他条件不变,试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系?说明理由

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(1)∵∠A+∠D+∠AOD=∠C+∠B+∠BOC=180°,

∠AOD=∠BOC(对顶角相等),

∴∠A+∠D=∠C+∠B;

(2)①线段AB、CD相交于点O,形成“8字形”;
②线段AN、CM相交于点O,形成“8字形”;
③线段AB、CP相交于点N,形成“8字形”;
④线段AB、CM相交于点O,形成“8字形”;
⑤线段AP、CD相交于点M,形成“8字形”;
⑥线段AN、CD相交于点O,形成“8字形”;
故“8字形”共有6个;

(3)∠DAP+∠D=∠P+∠DCP,①

∠PCB+∠B=∠PAB+∠P,②
∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P,
∴∠DAP=∠PAB,∠DCP=∠PCB,
由①+②得:
∠DAP+∠D+∠PCB+∠B=∠P+∠DCP+∠PAB+∠P,
即2∠P=∠D+∠B,
又∠D=40°,∠B=36°,
∴2∠P=40°+36°=76°,
∴∠P=38°.

(4)

关系∠P=1/2(∠B+∠D)

∠AMO=∠1+∠D=∠3+∠P①,
又∠ONC=∠4+∠B=∠2+∠P②,
由①、②得,∠1-∠3=∠P-∠D,
∠2-∠4=∠B-∠P,
由已知得,∠1=∠2,∠3=∠4,
∴∠1-∠3=∠2-∠4,
∴∠P-∠D=∠B-∠P,

∠P=1/2(∠B+∠D)

(1)∵∠A+∠D+∠AOD=∠C+∠B+∠BOC=180°,∠AOD=∠BOC(对顶角相等),∴∠A+∠D=∠C+∠B;(2)①线段AB、CD相交于点O,形成“8字形”;②线段AN、CM相交于点O,形成“8字形”;③线段AB、CP相交于点N,形成“8字形”...