对定义域属于R的函数f(x),有f(a,b)=af(b)+bf(a),且f(x)的绝对值小于等于1.求证：f(x)恒等于零这是一道自主招生的题目.
问题描述：
对定义域属于R的函数f(x),有f(a,b)=af(b)+bf(a),且f(x)的绝对值小于等于1.求证：f(x)恒等于零
这是一道自主招生的题目.
答
上解正确，
也可以假设至少存在一点x0，使得f(x0)≠0,则x0≠0,±1
用数学归纳法先证f(x^n)=nx^(n-1)f(x)
在利用分类讨论，
1.|x0|＞1,
2.0＜|x0|＜1
分别用极限逼近，导出矛盾
答
令a=b=0,则f(0)=0,对于任意非零实数x0,令b=x0,则f(ax0)=af(x0)+x0f(a),当a≠0时,f(x0)/x0=f(ax0)/ax0-f(a)/a,因为lim(a→∞)(1/a)=0,│f(a)│≤1,所以lim(a→∞)(f(a)/a)=0,因为lim(a→∞)(1/(ax0))=0,│f(ax0)│≤1...