设a是n维欧式空间V的一个单位向量,在V上定义变换T为T(x)=x-2(x,a)a,在V中找出一组标准正交基,使T在这组基下的矩阵是对角矩阵还需证明T^2=Ev,Ev是V上的单位变换

问题描述:

设a是n维欧式空间V的一个单位向量,在V上定义变换T为T(x)=x-2(x,a)a,在V中找出一组标准正交基,使T在这组
基下的矩阵是对角矩阵
还需证明T^2=Ev,Ev是V上的单位变换

⑴ T(x)=x-2(x,a)a
T²﹙x﹚=T﹙T﹙x﹚﹚=x-2(x,a)a-2﹙[x-2(x,a)a],a﹚a
=x-2(x,a)a-2﹛﹙x,a﹚a-2[(x,a)a,a﹚]a﹜
=x-2(x,a)a-2﹛﹙x,a﹚a-2(x,a)a﹜ [注意a·a=1]
=x-2(x,a)a+2﹙x,a﹚a
=x ∴T²=Ev
⑵ a是n维欧式空间V的一个单位向量.补上a2,a3,……an
使a,a2……an为V的标准正交基.
T﹙a﹚=a-2﹙aa﹚a=a-2a=-a=﹙-1﹚a
T﹙ai﹚=ai-2﹙ai,a﹚a=ai=1ai [注意﹙ai,a﹚=0]
所以T 在基底﹙a,a2……an﹚下的矩阵是对角矩阵diag﹙-1,1,……,1﹜.