课堂上,李老师给大家出了这样一道题：已知三角形ABC的三边为a,b,c,
问题描述：
课堂上,李老师给大家出了这样一道题：已知三角形ABC的三边为a,b,c,
且满足a^2c^2-b^2c^2=a^4-b^4试判断三角形ABC的形状.小颖同学是这样解的：因为a^2c^2-b^2c^2=a^4-b^4,所以(a^2-b^2)c^2=(a^2-b^2)(a^2+b^2).所以c^2=a^2+b^2所以三角形ABC是直角三角形.同学们,若不正确,请指出错误的原因,并帮小颖改正过来..
答
小颖的解法片面,答案应该是两种情况,1是等腰三角形,2是直角三角形.
因为a^2c^2-b^2c^2=a^4-b^4,所以(a^2-b^2)c^2=(a^2-b^2)(a^2+b^2)；这个等式中=号左边是因式相乘,后边也是因式相乘,1,如果a^2-b^2=0的话,上等式成立,此时a^2=b^2即a=b,此时是等腰三角形,2,如果a^2-b^2不等于0的话,等式(a^2-b^2)c^2=(a^2-b^2)(a^2+b^2)的两边就可以约掉公因式(a^2-b^2),所以等式变为c^2=a^2+b^2；此时满足勾股定理,所以为直角三角形.