如图，E、F分别为直角三角形ABC的直角边AC和斜边AB的中点，沿EF将△AEF折起到△A′EF的位置，连接A′B、A′C，P为A′C的中点． （1）求证：EP∥平面A′FB； （2）求证：平面A′EC⊥平面A′BC；
问题描述：
如图，E、F分别为直角三角形ABC的直角边AC和斜边AB的中点，沿EF将△AEF折起到△A′EF的位置，连接A′B、A′C，P为A′C的中点．
（1）求证：EP∥平面A′FB；
（2）求证：平面A′EC⊥平面A′BC；
（3）求证：AA′⊥平面A′BC．
答
证明：（1）
∵E、P分别为AC、A′C的中点，
∴EP∥A′A，又A′A⊂平面AA′B，EP⊄平面AA′B
∴即EP∥平面A′FB；
（2）∵BC⊥AC，EF⊥A′E，EF∥BC
∴BC⊥A′E，而AE与EC相交∴BC⊥平面A′EC
BC⊂平面A′BC
∴平面A′BC⊥平面A′EC；
（3）在△A′EC中，P为A′C的中点，∴EP⊥A′C，
在△A′AC中，EP∥A′A，∴A′A⊥A′C
由（2）知：BC⊥平面A′EC又A′A⊂平面A′EC
∴BC⊥AA′
∴A′A⊥平面A′BC．