设A为n阶实矩阵,证明A是正交矩阵当且仅当对任意的n维向量α,β有(Aα,Aβ)=(α,β)
问题描述：
设A为n阶实矩阵,证明A是正交矩阵当且仅当对任意的n维向量α,β有(Aα,Aβ)=(α,β)
答
(α,β)=β^Tα,(Aα,Aβ)=β^TA^TAα
显然当A是正交阵的时候(Aα,Aβ)=(α,β)
反过来,令M=A^TA,M是一个对称阵
取α=β=e_i得到M(i,i)=1,这里e_i是单位阵的第i列
对于i≠j,取α=e_i,β=e_j,得到M(i,j)=0所以M=I��ô֤Ψһ���ո��˽���һ�£�ԭ��֤���ҽ����������֤��ҪŶ��лл������