一个直角三角形的两条直角边长为整数且满足关于X的方程X²-（2+m)X+4m=0,试求M值及两直角边
问题描述：
一个直角三角形的两条直角边长为整数且满足关于X的方程X²-（2+m)X+4m=0,试求M值及两直角边
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答
设两直角边分别为a、b
则
a+b=2+m
ab=4m
(a-b)^2=(2+m)^2-4*4m=(m-6)^2-32≥0
又a、b均为正整数
m≥6+4√2=11.7
|a-b|=√[(m-6)^2-32]
很明显,要求√[(m-6)^2-32]也是正整数,即
设m-6=x,x≥6
n=√[(m-6)^2-32]
则x^2-32=n^2
又(n+6)^2=n^2+12n+36＞n^2+32
所以n＜x＜n+6
当x=n+5的时候
(n+5)^2-32=n^2
n=7/10舍弃
当x=n+4的时候
(n+4)^2-32=n^2
n=2,x=6,此时m=12
a-b=±2
a=8,b=6或a=6,b=8
当x=n+3的时候
(n+3)^2-32=n^2
n=6/23舍弃
当x=n+2的时候
(n+2)^2-32=n^2
n=7
此时x=9,m=x+6=15
a+b=17
a-b=±7
a=12,b=5或a=5,b=12
当x=n+1的时候
(n+1)^2-32=n^2
n=31/2(舍弃)
于是有两组解,
m=12,两直角边分别是8和6
m=15,两直角边分别为12和5