已知G是三角形ABC的重心,且a向量GA+b向量GB+根3倍的向量GC=0,其中a,b,c分别为角A,B,C的对边,求角A

先证明一个结论：G为三角形ABC所在平面内一点,GA+GB+GC=0点G是三角形ABC的重心 (GA ,GB,GC,0为向量)
【证明】（1）若已知GA+GB+GC=0,
取BC中点D,连结并延长GD至E,使DE=GD,则四边形BGCE是平行四边形
∴向量GB=向量CE
∴向量GB+向量GC=向量CE+向量GC=向量GE
由向量GA+向量GB+向量GC=0得:向量GB+向量GC=-向量GA=向量AG
∴向量AG和向量GE共线===>A、G、E三点共线而D在GE上,
∴A、G、D三点共线而点D又是BC中点,
∴AD(即AG)是三角形ABC中BC边上的中线
同理可证BG是AC边上的中线,CG是AB边上的中线
∴点G是三角形ABC的重心.
（2）若已知点G是三角形ABC的重心,
以GA、GB为邻边做平行四边形AGBD,设GD交AB于E
则向量GD=向量GA+向量GB
又向量GE=-向量GC/2=向量GD/2===>-向量GC=向量GD
∴-向量GC=向量GA+向量GB
∴向量GA+向量GB+向量GC=0向量
本题中：G是三角形ABC的重心,且a向量GA+b向量GB+根3c向量GC=0,
又因GA+GB+GC=0,所以GA=-GB–GC,
代入得：a(-GB–GC) +b向量GB+根3c向量GC=0,
整理得：(b-a) 向量GB+(√3c-a) 向量GC=0,
因为向量GB,向量GC不共线,所以只有b- a =0,√3c-a =0,
三角形是等腰三角形,
根据余弦定理得：cosA=（b^2+c^2-a^2）/(2bc)= √3/6,
由此可得∠A的大小.