微分方程y'''=(α+β)y'+e^ (α+β)x的通解
问题描述：
微分方程y'''=(α+β)y'+e^ (α+β)x的通解
答
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令a=α+β
(1)若a=α+β=0
y'''=1
y''=x+A
y'=x^2/2+Ax+B
y=x^3/6+Ax^2/2+Bx+C
(2)其它
y'''=ay'+exp(a*x)
这是线性常微分方程
先求齐次解
y'''=ay'
令z=y'
z''=az
z''-az=0
特征根方程为
r^2-a=0
r=±根号a
先不管a是正的还是负的,大不了得到一个复数
z=A'exp(根号a x)+B'exp(-根号a x)=y'
y=Aexp(根号a x)+Bexp(-根号a x)+C
再求特解
若a=α+β≠0,1
显然可以假设y=h*exp(ax)
a^3h-a^2h=1
h=1/[a^2(a-1)]
即y=Aexp(根号a x)+Bexp(-根号a x)+C+exp(ax)/[a^2(a-1)]