已知关于x的方程mx的平方-(3m-1)x 2m-2=0.(1)求证,无论m取任何实数时,方程恒有实数根(2)若关于x的二次函数y= mx -(3m－1)x+2m－2的图象与x轴两交点间的距离为2时,求抛物线的解析式.
问题描述：
已知关于x的方程mx的平方-(3m-1)x 2m-2=0.(1)求证,无论m取任何实数时,方程恒有实数根
(2)若关于x的二次函数y= mx -(3m－1)x
+2m－2的图象与x轴两交点间的距离为
2时,求抛物线的解析式.
答
（1）
方程mx^2-(3m-1)x+2m-2=0.
Δ=(3m-1)^2-4m(2m-2)
=9m^2-6m+1-8m^2+8m
=m^2+2m+1
=(m+1)^2≥0恒成立
∴无论m取任何实数时,方程恒有实数根
（2）
二次函数y= mx² -(3m－1)x +2m－2
的图象与x轴两交点间的距离为2,
即是方程mx^2-(3m-1)x+2m-2=0.的两根
x1,x2（x1>x2)之差x1-x2=2
根据韦达定理：
x1+x2=(3m-1)/m,x1x2=(2m-2)/m
∴（x1-x2)^2
=(x1+x2)^2-4x1x2
=(3m-1)²/m²-4(2m-2)/m=4
∴(3m-1)²-4m(2m-2)=4m²
∴m²+2m+1=4m²
(m+1)²=(2m)²
∴m+1=2m或m+1=-2m
∴m=1或m=-1/3
m=1时,解析式为 y=x²-2m
m=-1/3时,解析式为y=-1/3x²+2x-8/3