f(x)=sin2x-(2根号下2)(sinx+cosx)+3 x属于[-3兀/4,兀/4] 求 f(x)最大值,若f(x)=8/9,求cos2x的值
问题描述：
f(x)=sin2x-(2根号下2)(sinx+cosx)+3 x属于[-3兀/4,兀/4] 求 f(x)最大值,若f(x)=8/9,求cos2x的值
答
(1)f(x)=sin2x-4sin(x+∏/4)+3
=-cos(2x+∏/2)-4sin(x+∏/4)+3
=2[sin(x+∏/4)]^2 - 1 - 4sin(x+∏/4) + 3
=2[sin(x+∏/4)-1]^2
因为x∈[-3∏/4,∏/4],
所以(x+∏/4)∈[-∏/2,∏/2]
所以sin(x+∏/4)∈[-1,1]
令sin(x+∏/4)=t,作草图知f(t)最大值为f(-1)=2*2^2=8
(2)当f(x)=8/9时,
2[sin(x+∏/4)-1]^2=8/9,又sin(x+∏/4)-1∈[-2,0]
所以sin(x+∏/4)-1=-2/3
sin(x+∏/4)=1/3
又sin2x=-cos(2x+∏/2)=2sin(x+∏/4)^2-1=-7/9
所以cos2x=√(1-(sin2x)^2)=4√2/9