已知a,b,c,d都是整数,求证:(a2+b2)(c2+d2)是两个完全平方数的和.

问题描述:

已知a,b,c,d都是整数,求证:(a2+b2)(c2+d2)是两个完全平方数的和.

证明:(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2
=a2c2+b2d2+2abcd-2abcd+a2d2+b2c2
=(a2c2+2abcd+b2d2)+(a2d2-2abcd+b2c2
=(ac+bd)2+(bc-ad)2
故(a2+b2)(c2+d2)是两个完全平方数的和.