方程x³-x²-x+a=0只有一个实数根,求a的范围.

设函数f(x)=x³-x²-x+a
f'(x)=3x²-2x-1
令f'(x)=0,即3x²-2x-1=0 解得x=-1/3或x=1；
令f'(x)>0,即3x²-2x-1>0 解得x1；
令f'(x)所以f(x)在(-∞,-1/3)单调递增，在[-1/3,1]单调递减，在(1,+∞)单调递增
所以可知，f(x)=x³-x²-x+a在x=-1/3处取得极大值，在x=1处取得极小值
要使方程x³-x²-x+a=0只有一个实数根，即f(x)=x³-x²-x+a与x轴只有一个交点
结合函数的大致图形可知：极大值f(-1/3)0
f(-1/3)=(-1/3)³-(-1/3)²-(-1/3)+a=5/27+af(1)=(1)³-(1)²-(1)+a=-1+a>0,解得a>1
所以，a∈(-∞，-5/27)∪(1,+∞)

你们学过求导吗？

x^3-x^2-x+a=(x-k)(x^2+px+q)=0
x^3+px^2+qx-kx^2-kpx-kq=0
x^3+x^2(p-k)+x(q-kp)-kq=0
p-k=-1 q-kp=-1 -kq=a
其中p^2-4q2/3 或p2/3 时a=-(p^3+p^2-p+p^2+p-1)=-(p^3+2p^2-1)0 f(x2)>0 或f(x1)0 得a>-5/27且a>1 所以a>1
或5/27+a

y=x³-x²-x+a
求导
可知，其在（-00，-1/3）单调递增，在（-1/3,1）单调递减，在（1，+00）单调递增。
所以只要x=-1/3时，y0.
所以a1