证明：在任意11个整数中必有6个整数的和能被6整除,但任意10个整数未必有此性质．

先证明对于任意的五个自然数,证明其中必有3个数的和能被3整除.
证明∵任何数除以3所得余数只能是0,1,2,不妨分别构造为3个抽屉：[0],[1],[2]
①若这五个自然数除以3后所得余数分别分布在这3个抽屉中,我们从这三个抽屉中各取1个,其和必能被3整除.
②若这5个余数分布在其中的两个抽屉中,则其中必有一个抽屉,包含有3个余数（抽屉原理）,而这三个余数之和或为0,或为3,或为6,故所对应的3个自然数之和是3的倍数.
③若这5个余数分布在其中的一个抽屉中,很显然,必有3个自然数之和能被3整除.
∴对于任意的五个自然数,其中必有3个数的和能被3整除
设这11个整数为：a1,a2,a3……a11 又6=2×3①先考虑被3整除的情形
由上面知,在11个任意整数中,必存在：
3|a1+a2+a3,不妨设a1+a2+a3=b1；
同理,剩下的8个任意整数中,由上面,必存在：3 | a4+a5+a6.设a4+a5+a6=b2；
同理,其余的5个任意整数中,有：3|a7+a8+a9,设：a7+a8+a9=b3
②再考虑b1、b2、b3被2整除.
依据抽屉原理,b1、b2、b3这三个整数中,至少有两个是同奇或同偶,这两个同奇（或同偶）的整数之和必为偶数.不妨设2|b1+b2
则：6|b1+b2,即：6|a1+a2+a3+a4+a5+a6
∴任意11个整数,其中必有6个数的和是6的倍数.
若为10个整数,b3从剩下4个整数中不一定能找到三个数之和是3的倍数,所以任意10个整数不一定有6个整数的和能被6整除