已知函数f(x)=x2-2tx+1,x∈[2,5]有反函数,且函数f(x)的最大值为8,求实数t的值.

问题描述:

已知函数f(x)=x2-2tx+1,x∈[2,5]有反函数,且函数f(x)的最大值为8,求实数t的值.

因为函数有反函数,所以在定义域内是一一对应的函数f(x)=x2-2tx+1的对称轴为x=t,所以t≤2或t≥5
若t≤2,在区间[2,5]上函数是单调递增的,所以f(x)max=f(5)=25-10t+1=8,解得t=

9
5
,符合       
若t≥5,在区间[2,5]上函数是单调递减的,所以f(x)max=f(2)=4-4t+1=8,解得t=−
3
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,与t≥5矛盾,舍去 
综上所述,满足题意的实数t的值为
9
5